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Mathématiques à Strasbourg

Master Class autour de l'Analyse

Le but de cette master class est de présenter certaines thématiques en Analyse, autour des équations aux dérivées partielles, de la théorie du contrôle et de la physique mathématique.

Cette master class aura lieu à l'IRMA à Strasbourg, du 15 au 19 janvier 2018. Elle s'organise autour des quatre mini-cours suivants (chacun composé de 3 séances de 1h30 et une session de questions/TD):


La master class s'adresse aux étudiants de M1. Elle pourra également intéresser les étudiants de M2, de prépa-agreg, ainsi que les doctorants.

Les inscriptions sont closes.

Programme

Lundi 15/01 Mardi 16/01 Mercredi 17/01 Jeudi 18/01 Vendredi 19/01
9:00 - 10:30 Isabelle Gallagher Isabelle Gallagher Jean-Michel Coron Geneviève Raugel David Dos Santos Ferreira
10:30 - 11:00 Pause
11:00 - 12:30 David Dos Santos Ferreira Geneviève Raugel David Dos Santos Ferreira Jean-Michel Coron Questions
12:30 - 14:00 Déjeuner
14:00 - 15:30 Geneviève Raugel Jean-Michel Coron Isabelle Gallagher
15:30 - 16:00 Pause
16:00 - 17:30 Questions Questions Questions

Mini cours

Contrôle de systèmes non linéaires

Jean-Michel Coron

Professeur à l'Université Pierre et Marie Curie (Paris VI)

Un système de contrôle est un système dynamique sur lequel on peut agir grâce à ce qu'on appelle le contrôle. Par exemple, dans une voiture, on peut tourner le volant, appuyer sur la pédale d'accélérateur, etc. Pour un satellite, des propulseurs ou des roues d'inertie peuvent être utilisés.

L'un des principaux problèmes dans la théorie du contrôle est le problème de la contrôlabilité. Il s'agit du problème suivant. On part d'une situation donnée et il y a une cible que l'on cherche à atteindre. Le problème de contrôlabilité est de voir si, en utilisant des contrôles appropriés fonction du temps, on peut passer de la situation donnée à la cible désirée. Nous rappelons d'abord certains résultats classiques sur ce problème pour les systèmes de contrôle en dimension finie. Nous expliquons ensuite pourquoi l'outil principal utilisé pour ce problème en dimension finie, c'est-à-dire les crochets de Lie itérés, est difficile à utiliser pour de nombreux systèmes de contrôle importants modélisés par des équations aux dérivées partielles. Nous présentons des méthodes pour éviter l'utilisation de ces crochets de Lie itérés. Nous donnons des applications de ces méthodes à différents systèmes de contrôle physique modélisés par des équations aux dérivées partielles (équations d'Euler et Navier-Stokes de fluides incompressibles, équations de Saint-Venant, équations de Korteweg-de-Vries ...).

Un autre problème important dans la théorie du contrôle est celui de la stabilisation. On peut le comprendre avec l'expérience classique du balai que l'on fait tenir sur le bout du doigt. En principe, si le balai est vertical avec une vitesse nulle, il doit rester à la verticale (avec une vitesse nulle). Comme on le voit expérimentalement, ce n'est pas le cas en pratique : si nous ne faisons rien, le balai va tomber. C'est parce que l'équilibre est instable. Afin d'éviter la chute, on déplace le doigt de manière appropriée afin de stabiliser cet équilibre instable. Ce mouvement du doigt est une rétroaction (feedback) : elle dépend de la position (et de la vitesse) du balai. Les lois de rétroaction sont maintenant utilisées dans de nombreuses industries et même dans la vie quotidienne (par exemple, des robinets thermostatiques). Nous considérons le lien entre la contrôlabilité et la stabilisabilité, et montrons l'utilité des lois de rétroaction dépendant du temps de façon périodique. Des applications sont présentées aux systèmes de contrôle en dimension finie et aux systèmes modélisés au moyen d'équations aux dérivées partielles.

Le problème inverse de la conductivité d’Alberto Calderón

David Dos Santos Ferreira

Professeur à l'Université de Nancy

Dans les années 1950, Alberto Calderón, alors qu'il travaille en Argentine comme ingénieur pour la compagnie pétrolière nationale Yacimientos Petrolíferos Fiscales, et avant même de commencer son doctorat sous la direction d’Antoni Zygmund, s’intéresse à un problème de modélisation issue des techniques de prospections pétrolières.

La question est de savoir si l’on peut déterminer la conductivité électrique d’un corps en faisant des mesures de tension et d’intensité à la périphérie.

Mathématiquement, cela revient à savoir si l’on peut déterminer la conductivité dans une équation de type de divergence sur un ouvert borné régulier à partir de l’application Dirichlet-à-Neumann.
Le mini-cours présentera le problème et les techniques de résolution basée sur la construction de solutions d’une équation aux dérivées partielles par la méthode de l'optique géométrique complexe.

Dérivation d'équations de la mécanique des fluides à partir de systèmes de particules

Isabelle Gallagher

Professeur à l’École normale supérieure (Paris)

Le sixième problème de Hilbert consiste en la justification rigoureuse du mécanisme conduisant de la dynamique classique moléculaire à la dynamique des fluides.

En utilisant l'équation de Boltzmann comme étape intermédiaire de description, nous expliquerons dans ce cours comment cela est possible dans des cadres simplifiés, linéaires (dans le but notamment d'obtenir l'équation de la chaleur à partir d'un système de particules).

Dynamique des EDP dissipatives

Geneviève Raugel

Directrice de Recherche CNRS à l'Université Paris-Sud (Paris XI)

  • Définitions et attracteurs globaux d'un système dissipatif
  • systèmes gradients et convergence vers un point d'équilibre
  • Éléments sur les variétés invariantes
  • Applications: équation de Klein-Gordon radiale focalisante avec dissipation - convergence vers équilibres (deux méthodes - résultats récents)

Contact

Pour tout renseignement complémentaire, veuillez écrire à . Les inscriptions sont closes.
Cette master class est organisée par Nalini Anantharaman et Raphaël Côte.

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